我用<分角定理>创造出中学数学定理历史奇迹fficeffice" />

谁能把两个性质不同的定理的全部关系，一丝不改地组合成一个新定理？

请大家来欣赏数学中的奇观趣事----惊人的巧合！请看：

《张角定理》：△中一条分角线，（左小角正弦/右边+右小角正弦/左边）⑴=（大角正弦/中间线段）⑵。

《三弦定理》：过圆上一点任作三条弦，（左弦×右小角正弦+右弦×左小角正弦）⑶=（大角正弦×中间弦）⑷。

《全面三割线定理》：过圆外一点任作三条割线，则有

（左割线×右小角正弦+右割线×左小角正弦）⑶×（大角正弦/中间割线外段）⑵=

（左小角正弦/右割线外段+右小角正弦/左割线外段）⑴×（大角正弦×中间割线）⑷。

《张角定理》的⑴=⑵，《三弦定理》的⑶=⑷，组合成《全面三割线定理》的⑶×⑵=⑴×⑷。

这样巧合，只能在数学中出现，也只能唯一地存在于《张角定理》《三弦定理》《全面三割线定理》之中，不知是否算做数学中的奇观趣事。请大家评论。

附：（一）用《分角定理》证明《张角定理》：即三角形内有一条分角线, 各分角正弦与不相邻边的比之和=大角正弦与分角线之比。△ABC中,AD内分∠BAC, 则有（sin∠BAD/AC）+ (sin∠CAD/ AB) = ( sin∠BAC/AD) 。

证明：由AC外分∠BAD, 由《分角定理》→（CD/CB）=（sin∠CAD/ sin∠CAB）·（AD/AB）→

(sin∠CAD/ AB)= (CD/CB)·(sin∠CAB/AD⑴, 由AB外分∠CAD, 由《分角定理》→（BD/BC）=

（sin∠BAD/ sin∠BAC）·（AD/AC）→(sin∠BAD/ AC)=（BD/BC）·(sin∠BAC/AD⑵。由⑴+⑵→

(sin∠BAD/ AC) +(sin∠CAD/ AB) = sin∠BAC(BD+CD)/(BC·AD)= ( sin∠BAC/AD)。证毕。

（二）用《分角定理》证明《三弦定理》：过圆上一点A任作三条弦，AB（左）、AC（右）、AD（中），则有AB·sin∠CAP +AC·sin∠BAP= AD·sin∠BAC。（AD与BC交于P）

证明：由AC外分∠BAP, 由《分角定理》→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=（CP/BC）·（AB/AP）→(AB·sin∠CAP/

sin∠BAC)=（CP/BC）（AB·AB）/AP⑴，同理 由AB外分∠CAP, 由《分角定理》→(AC·sin∠BAP/ sin∠BAC)=

（BP/BC）（AC·AC）/AP⑵，由⑴+⑵→

(AB·sin∠CAP+ AC·sin∠BAP)=AD·sin∠BAC[（CP·AB·AB）/（AP·BC·AD）+（BP·AC·AC）/（AP·BC·AD）]

= AD·sin∠BAC[（CP/AP）（AB/BC）（AB/AD）+（BP/AP）（AC/BC）（AC/AD）]

= AD·sin∠BAC[（sin∠CAP/ sin∠ACP）（sin∠ACP/ sin∠BAC）（AB/AD）+（sin∠BAP/ sin∠ABC）（sin∠ABC/ sin∠BAC）（AC/AD）]

= AD·sin∠BAC[（sin∠CBD/ sin∠BDC）（AB/AD）+（sin∠BCD/ sin∠BDC）（AC/AD）

= AD·sin∠BAC [（CD/BC）（AB/AD）+（BD/BC）（AC/AD）]

= AD·sin∠BAC [（CD·AB）/（BC·AD）+（BD·AC）/（BC·AD）] 由《托氏定理》，所以有

 (AB·sin∠CAP+ AC·sin∠BAP)=AD·sin∠BAC。证毕。

（三）用《分角定理》证明《全面三割线定理》：过圆外一点。任作三条割线，则有

（PB·sin∠DPQ + PA·sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ=（sin∠EPQ/PD + sin∠DPQ/PE）×sin∠DPE·PC。

证明：连AE交PC于M，连BD交PC于N，连AC、BC、DQ、EQ。

由PD外分∠BPN，由《分角定理》→(sin∠DPQ/ sin∠DPE)=（DN/DB）·（PB/PN）→

PB sin∠DPQ= sin∠DPE（DN·PB·PB）/（DB·PN）⑴。

由PE外分∠APM，由《分角定理》→(sin∠EPQ/ sin∠DPE)=（EM/EA）·（PA/PM）→

PA sin∠EPQ= sin∠DPE（EM·PA·PA）/（EA·PM）⑵。由⑴+⑵→

PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ = sin∠DPE[（DN·PB·PB）/（DB·PN）+（EM·PA·PA）/（EA·PM）]×PC/PC

=PC sin∠DPE[（DN/PN）（PB/DB）（PB/PC）+（EM/PM）（PA/EA）（PA/PC）]

= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/ sin∠PDN) (sin∠PDN/ sin∠DPE) (sin∠PCB/ sin∠PBC)+ (sin∠EPQ/ sin∠PEM)

(sin∠PEM/ sin∠DPE) (sin∠PCA sin∠PAC)]，两边×sin∠DPE/PQ→

（PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[（sin∠DPE/PQ）(sin∠DPQ/ sin∠DPE)

(sin∠PEQ/ sin∠PQE)+（sin∠DPE/PQ）(sin∠EPQ/ sin∠DPE) (sin∠PDQ sin∠PQD)] →

（PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/PQ)（PQ/PE）+(sin∠EPQ/PQ) （PQ/PD）]

∴（PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/PE)+ (sin∠EPQ/PD)]证毕。 

 

 

 

 

 

该帖子于2006-9-27 17:56:47被 心情 编辑过

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