07年六年级组迎春杯初赛试题解答与点评(逐步更新)

我是周老师

为了大家更好的备战08年迎春杯,现将部分07年六年级迎春杯初赛试题的详解及考点给大家作简单的分析,希望对参赛同学有一定的帮助.


六年级组15题（最后一题）：

有10个整数克的砝码（允许砝码重量相同），将其中一个或几个放在天平的右边，待称的物品放在天平的左边，能称出1，2，3，…，200的所有整数克的物品来；那么，这10个砝码中第二重的砝码最少是（  ）克。


分析与解答：

1，首先此题是一道关于砝码的计数问题，涉及到最值问题和抽屉原理。我们直接使用最基本的数学逻辑来进行推论和解答。
2，首先，从最后所求进行分析，要求第二重的砝码最少，无法进行直接突破，使用的是最值原理的重点思路之一：从反面考虑。第二重砝码最少，那么就应该使其他的砝码尽量大。
3，首先，分析10个砝码的总重量很显然应该是200。
4，其次，分析其中最重的砝码应该最大是100，因为如果有超过100克的砝码，100克的物品就无法称出。这样其他9个砝码总和应该是100克。
5，然后，对最小砝码进行逐一分析。最小的砝码很显然必须是1，否则无法称出1克物品。继续分析下一个，下一个按道理还可以是1克，这样就可以称出2克物品，但是“其他砝码尽量大”的原则，所以第二小的砝码最大应该是2克。（不能超过2克，否则2克无法称出。）
6，继续分析第三小的砝码。要求最大，不能比4克大，否则4克就称不出来，也不需要3克的，因为3克可以使用1克和2克的合称出来。所以可以确定是4克。
7，同理继续分析第四小的砝码，应该是8克。（从尽量大的角度来说，不需要5，6，7克，从最大的角度来说，不能超过8，否则8克就无法称出了。）
9，依次类推，其他砝码依次为16，32，64......
10，但是，注意到限制：9个砝码总和应该是100克，要使得最重的尽量少（其实是10个中第二重的），那么后面的就不需要那么大了。
11，假设前面6个砝码为1，2，4，8，16，32...那么显然最重的应该为32，不一定是最少的，
12，假设前面5个砝码为1，2，4，8，16...那么还有4个总和为100-31=69，根据抽屉原理，可分配为17，17，17，18，最重的为18，这是最少的。
13，假设前面4个砝码为1，2，4，8...那么还有5个总和为100-15=85，平均为85/5=17，又第五个最大是16，所以最重的至少为18，实质和上面一类是一样的。
14,综上所述，10个砝码中第二重的砝码最少为18克，此时的砝码为：1，2，4，8，16，17，17，17，18，100。


点评：

1, 此题的难度很大，考察到了最值问题，最值问题是数学中的重要专题，最值问题最重要的思想就是某数的最大一定对应着其他数的最小，体现了数学中的正反思想，这正是此题的突破口。
2，此题的分析思路都要注意到两个限制条件：“砝码尽量大”的原则和“能称出1，2，3，…，200的所有整数克的物品来”的前提。两个条件互相综合才得到前面砝码呈现1，2，4，8…的规律。
3，又砝码的个数和总重量确定，需要使用抽屉原理的“平均原理”确定其他砝码数为17，17，17，18时，最重重量（十个中第二重）最少。
4，迎春杯注重学生的数学思维能力，题目都是非常的综合，难度很高，要求学生具有灵活使用所学知识的能力和思考的习惯，这些都是奥数学习的本质。

爱猫的老鼠

谢谢周老师

greentea

tongniu

我是周老师

迎春杯六年级组第13题

将0～9这十个数字分别填入下面算式的□内，每个数字只能用一次；那么满足条件的正确填法共有         种。
□＋□□＋□□□＝□□□□


分析与解答：

1, 如图，先根据数字迷规律的高位分析法推断出三位数百位为9,四位数千位为1,百位为0.




2, 注意到“数字和定理”：
如果加法中无进位，那么所有加数的数字和与和的数字和应该相等。
如果加法中有进位，那么每进一位，数字和就少10-1=9，所以如果进n位，那么和的数字和应该比所有加数的数字和少9n。


所以: 可设所有加数数字和为:A=9+c+d+e+f+g,
和的数字和为:B=1+0+a+b
   有:A+B=45,A-B=9n.

   因为A+B与A-B同奇偶，所以A-B不可能等于偶数，可以是9,或者27。
  当A-B=9时，根据和差公式得: A=27，B=18，则a+b=17，只能是9+8,9已使用,不成立。
  当A-B=27时，根据和差公式得: A=36，B=9，则a+b=8，可以成立

3, 所以，a,b可能为（2，6）（3，5）（6，2）（5，3）四种。
   当（a,b）=（2，6）则有e+c=11=3+8=4+7;
   当（a,b）=（3，5）则有e+c=12=4+8;
   当（a,b）=（6，2）则有e+c=15=7+8
   当（a,b）=（5，3）则有e+c=14=6+8;
  上面从右边分类看，共有5类，可以使等式成立.

4, 上面5类成立的式子中, 每一类中e与c都可以交换，g,f,d可以交换排列
所以每一类有(2*1)*(3*2*1)=12种。
所以共有5×12=60(种)

点评:

1, 以数字迷的形式考察到了”数字和定理”和”排列组合综合”,难度还是非常大的.

2, 数字迷是迎春杯考试比较偏爱的一类题型,07年一共考察了三道,但是如果觉得数字迷只是瞎凑就可以轻易得到答案,那就大错特错了,数字迷是数学逻辑推理的一种,只不过推理的都是式子中的数字问题.


3, 这道试题的创新点和难点在于把数字迷填出之后,还需要求出一共多少种填法,这就涉及到计数问题中的分类思想和排列组合问题了,要求学生能够观察出数字迷中哪些数字是可以变动的,所以难度还是很大的.

4, 迎春杯之所以难度大,主要是很多试题都要求同学具有奥数基础,且能综合运用,比如此试题中的”数字和定理”和”排列组合”都是奥数中的基本原理,如果没有相关基础知识,是不可能得出正确解答的,但仅仅学会定理的皮毛,而不了解定理的本质含义及常见应用形式,也是很难活学活用的.

ren431212

谢谢老师，我让孩子做迎春杯试题，正发愁他不会的题怎么办呢，您的解答来的正好，希望继续1

18号

谢谢老师，

快乐学习１２３

谢谢老师，

yangguanglena

花开无声

学而思真是太专业了，缓 我们燃眉之急，这几天都不知道怎末准备，试题什么难度。