请教一题第六届走“美的”奥数

ylq103

题目是"从敌方获取10组数据:"14073,63136,29402,35862,84271,79588,42936,98174,50811,07145.破译人员知道这是一个五位数密码，每组数据与这个密码都只有一个数位上的数字相同，这个密码是什么？”，答案人大附中网站给出的是09876，自己一点也没有思路，特在这里向老师们请教。谢谢

ylq103

这题是B试五年级第九题，四年级第十四题。

unicolor

够难。

ylq103

怎么没有老师理我？555555555。。。。。。。。。。

正堂老师

家长您好 让您久等了 我们深感抱歉，个人是这么思考的：09876
09876
既然"十组数据中的每一数据与密码都只有一个数位上的数字相同",
那么每个位数上各有几个数字是一样的,因为肯定有重复的.
依次看,万位没有一样的,千位有2个有2次重复的,百位有1个重复2次,1个重复3次的,十位有1个重复2次,1个重复3次的,个位有2个有2次重复的,
就用这个办法得到答案...
14073
63136
29402
35862
84271
79588
42936
98174
50811
07145
------------
09876
做奥数不妨抱着试试看心理去“凑凑数”

ylq103

谢谢，老师提示。

unicolor

既然万位数上没有重复的现象，为什么万位数不能是0~9中任意一个数字呢？疑惑中。

正堂老师

都没有重复的情况下，又没有其他规律，那么你会选择什么数字呢？没有重复就是0重复，此时只有这么一个规律能够说的通，所以选择了0（出题人的意思 我们也不知道）

郑老师

比较孤陋寡闻，没有参考到大师级的详解，自己稍微总结了点规律，大家看看对不

解码题需要说明的几点：
1.每组数据与这个密码都只有一个数位上的数字相同,也就是位置也要对，数字也要对
2.当通过某一组数据确定了某一个数位上的数字，比如通过abcd1来确定个位是1，那么abcd1这个数据就没别的用了，直接去掉
   特别地，如果还有其他组数据的个位上也是这个数据，要同时去掉，比如同时有efgh1，也去掉。
3.确定5位密码，要10组数，就如本题
   确定4位密码，要8组数
   确定3位密码，要6组数
   确定2位密码，要4组数

不知道规律，从最简单的2位密码来找点规律
例如4组数：13，32，52，14
如果假设13中的3是最后密码的个位数，那么去掉13
还剩32，52，14，他们个位已经跟密码的个位不相同了，且还要有一个数位与密码是相同的，那只能同时在百位相同了
但是这三个数百位分别是3，5，1，根本不能同时满足——所以个位不是3
同理个位不是4
显然个位是2，题中正好重复了一次（如果2都不重复的话，要满足只有一个数位与密码同，那要逼的这4个数的百位都要相同！）
去掉32，52，剩下13，14，恰好百位相同，所以密码为12（此时百位如果不同，无解）

再来3位密码找点规律
例如编6组数：156，178，324，425，863，903
如果假设密码个位数是6，那去掉156，剩178，324，425，863，903
进一步假设十位是8，那去掉178，剩下324，425，863，903
剩下这四个数按照前面的假设，十位和个位都是与密码相应位置不相同，那走投无路，只能百位相同了
可是百位分别3，4，8，9，根本不满足，假设不成立
同理，个位数可以排除8，4，5，只能为3

恰好3重复了两次，一次可以排除两个数，为后面保证百位相同创造了极大的方便
因为如果剩一个数，那最好，直接确定百位
如果剩两个数，那一定要两者百位数字相同，否则无解
如果剩三个数，那一定要同时保证三者百位数字相同，否则无解

所以规律来了——开始时同时去掉的越多越好，也就是如正堂老师回答的，统计各个数位上每个数字出现的次数
谁出现的次数高，那个位置上就一定是谁——否则同时去掉的数据少了，后面要被逼得走投无路了

ok，来看这道题，五位密码，10组数
万位——0到9每个只出现一次——其实这是应该高兴的，后面再讲
千位——4出现两次，9出现两次
百位——1出现三次，8出现两次
十位——7出现三次，3出现两次
个位——1，2，6分别出现两次

频率最高出现了三次，分别百位的1和十位的7
如果先用7尝试，也就是定下来十位是7，那么恭喜拉
去掉十位是7的数据，剩下的7个数是63136，29402，35862，79588，42936，50811，07145
关键的来了——要重新统计各个数位上每个数字出现的次数

这7个数中
万位——0到9每个只出现一次——没办法
千位——9出现了两次——高兴
百位——1出现了两次，8出现了两次——有干扰
十位——7，固定了嘛
个位——2出现了两次，6出现了两次——有干扰

唯一没干扰就是9，那么千位为9，同时去掉2组数据，剩下的5个数是63136，35862，42936，50811，07145
再重新统计一下
万位——0到9每个只出现一次
千位——9，固定了嘛
百位——1出现了两次，8出现了两次——有干扰
十位——7，固定了嘛
个位——6出现了两次——高兴

所以百位为6，又可以去掉2组数据，剩下的3个数是35862，50811，07145，再统计
万位——0到9每个只出现一次
千位——9
百位——8出现两次——高兴
十位——7
个位——6

所以百位为8，又去掉2组数据，只剩下07145，显然7145与密码相应位置都不同，那只能在万位上一致了，为0
所以最后答案09876

我写起来麻烦，但是知道这个规律实际操作起来还是蛮方便的
如果真要给孩子们讲清楚，我觉得还是有难度的

所以前面我花了好长的篇幅来推导这个规律，希望家长首先自己要搞清为什么要选出现次数多的
百位上1也出现了三次，大家尝试从1来操作，后面就会发现被逼得走投无路了

最后来说一下为什么看到万位上没有重复数字了会高兴
还从3位密码来举例子
刚才3位密码的6组数据：156，178，324，425，863，903
恰好百位只有1重复了两次，对于十位的2和个位的3同理，所以直接可以判断密码123
这是理想的情况，不像5位密码10组数那样有干扰
我们来把其中的1个数据变一下，把178变成278试试
但是278与123没有相应数位上数字的对应（因为把唯一对应的1给改掉了）
于是要保证有一个对应，或者把7改成2，或者把8改成3
改7为2，则278——228，别忘了6组数里面还有324，425
这样十位上的2出现了三次(增加了一次)
同理改8为2，个位上的3就出现了三次

也就是说，百位上不重复是有代价的——代价是其他位置上重复的次数要多一次
多了一次也就更加突出，更加容易先找出来了，所以值得高兴

写的比较冗长，但觉得这种从简入深的思路，一般的小孩子能明白
当然了，竞赛班的可能自己都能找出规律来哈

如果有更简单权威的回答，热烈欢迎！

正堂老师