一个初三学生问我的一道问题，我解答之后觉得这个问题很有启发性，特贴于此处，以期抛砖引玉。

绳长10米
每秒变成1.2倍（不是每秒末）
蚂蚁爬多快才能到头

用中学方法

如果条件改为橡皮筋每秒变为原来的 a=1.2倍，且变化是连续的话，蚂蚁是匀速运动的，则有如下讨论。

若按照比例的思想，此题可改为：

已知：Sn＝b/L。＋b/(L。＋L)＋b/(L。＋2L)＋b/(L。＋3L)＋……＋b/(L。＋(n-1)L)
            b=0.01     L。＝1000      L=100
求：是否存在足够大的n，使得Sn>=1？

解答过程：Sn＝b/L[1/(L。/L)+1/(L。/L+1)+1/(L。/L+2)+……1/(L。/L+n-1)]
                         =0.0001×[1/10+1/11+1/12+1/13+……1/(9+n)]
                    中扩号内的部分是非常有名的调和数列求和，学习竞赛的孩子们应该知道：）
            因为：调和数列求和是发散的
            所以：Sn可以任意大，即能爬到终点



后记（供学有余力的同学）：实际上1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722  =>称作欧拉初始,专为调和级数所用)
                               根据：Sn＝1
                               得到：ln（9＋n）＋0.57722－2.82897=10000  推出n的大小与exp10000（10的4343次幂）同一量级
                宇宙现在的年龄：          大约140亿年＝4.4×10e17秒
                小虫爬到终点时间：                      4.3×10e4343秒  
哈哈哈哈！！！

对调和数列不了解的同学，参看：http://baike.baidu.com/view/1074590.htm

引自百度百科：
调和数列

自然数的倒数组成的数列,称为调和数列. 人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时): 1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......一个无理数,称作欧拉初始,专为调和级数所用) 人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式. 但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式. 当n→∞时 1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/n 这个级数是发散的。简单的说，结果为∞ －－－－－－－－－－－－－－－－－－ 用高中知识也是可以证明的，如下： 1/2≥1/2 1/3＋1/4＞1/2 1/5＋1/6＋1/7＋1/8＞1/2 …… 1/[2^(k-1)+1]＋1/[2^(k-1)+2]＋…＋1/2^k＞[2^(k-1)](1/2^k)＝1/2 对于任意一个正数a，把a分成有限个1/2 必然能够找到k，使得 1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/2^k＞a 所以n→∞时，1＋1/2＋1/3＋1/4＋ … ＋1/n→∞

没错
怪我
加个条件
长度等于10*1.2^t

知道 L(t)的变化规律后此题有解。但我没有想到初等代数的解法，只能先用微积分的方法求出答案，希望有高人给出初等代数的解法。

不算也知道答案小于10*1.2大于10
请指正

我认为林老师的方法确实就是正解

1、积分的方法

答案V（T）＝L。ln1.2/[1－(1/1.2)^T]   T是到达另一段的时间

那位学生的意思是L。＝10m，V最少是多少？ 所以当T趋于无穷时，V＝10×ln1.2

结论：速度必须大于 10×ln1.2m/s（约等于1.823m/s）


2、微分方法

关键是： 在初始时刻，虫子的速度要大于绳子伸长的速度

绳子伸长的速度 V绳初＝（10×1.2^t）’|t=0
                                    ＝10×ln1.2

结论：速度必须大于 10×ln1.2m/s（约等于1.823m/s）


对比1和2，不难发现，实际上如果小虫的速度恰为10×ln1.2m/s，那么虫子到终点的距离永
远是10m，所以到不了，且此速度为临界态。



3、初等方法

其实，此题可以算是一道高中物理竞赛试题，归类在：物理－>力学－>纯运动学，算是道难题
这种类型题我曾经在集训队听过，是曾经的国际物理竞赛中国领队舒幼生老师讲的
方法叫“小量分析”，其实就是拿10×1.2^t对时间求导数，方法与上面的方法2无区别，只是为了避开高等数学，所以需要用“小量分析”——省略高价小量，得到近似结果

这种类型的题目只能在集训队讲，不会出现在全国高中物理竞赛上，这是因为出题人不能让会高等数学的高中生在竞赛时产生任何的优势，呵呵。


4、初中方法

如果wall-e同学一定要求出小虫速度的临界值，那么初中方法是不可能存在的。

很现然这个临界值为10×ln1.2m/s，结果中有对数，而对数是高中生的知识点吧？


我说wall-e同学，你小子就别折腾林老师了，哈～

确实是我算错了，我把 L0 = 1000 (原题的条件)代入计算了。
按 wall-e 的条件 L0 = 10 的话，代入
v= 10/5.48 = 1.823 m/s

谢谢 wall-e 的批评指正。

另：
   我觉得这个题目给我很大启发。我们经常见到的题目都是能求出确定解的，现在求不出（或写不出）确定解的情况下 ，仍然可以利用方程的特定对解进行定性的判断。我以为这样的题目很能考察学生的思维能力。只是我忘了问这个学生从哪找到这样经典的题目，我好多多借鉴一下。

10ln1.2对，没难住
承认林老师的实力

林老师多来
我就喜欢难为人

呵呵，我哪有什么实力啊，才疏学浅，不敢当。要为难人的话，应该多为难一下guopeng0304这样的高人啊！

http://www.eduu.com/thread-58261-1-15.html
http://www.eduu.com/thread-55884-1-16.html
http://www.eduu.com/thread-56019-1-17.html
http://www.eduu.com/thread-56117-1-17.html
http://www.eduu.com/thread-55662-1-17.html
http://www.eduu.com/thread-102090-1-2.html
http://www.eduu.com/thread-76921-1-4.html