【★每日一题★8月25】初一数学奥赛题天天练

风吹麦浪

风吹麦浪

FXY

分析：
方法一：
设这个数为X
X≡2（mod3)
X≡3  (mod5)
X≡2  (mod7)
先看，除以3和7皆余2，3×7+2=23
所以23是满足除3余2和除7余2的最小值
再来讨论23是否满足除5余3
∵23÷5=4……3
∴23既为满足条件的最小值


方法二：
这是一道中国剩余定理的例题
具体算法是这样的：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”
用这首歌来算：
便有算式2×70+3×21+2×15-105×2=23

解释规律：
同余定理介绍：

数学上，两个整数除以同一个整数，若得相同余数，则二整数同余（英文：Modular arithmetic；德文：Kongruenz）。同余理论常被用于数论中。最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。 同余理论是初等数论的重要组成部分,是研究整数问题的重要工具之一,利用同余来论证某些整除性的问题是很简便的.同余是数学竞赛的重要组成部分. 同余符号 两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余 记作 a ≡ b (mod) 读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。 比如 26 ≡ 14 (mod 12) 【定义】设ｍ是大于1的正整数,a,b是整数,如果m|(a-b),则称a与b关于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a同余b模m. 显然,有如下事实 (1)若a≡0(mod m),则m|a; (2)a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除,余数相同. 【证明】 充分性:设a=mq1+r1,b=mq2+r2,0<=r1,r2<m ∵a≡b(mod m),∴m|(a-b),a-b=m(q1-q2)+(r1-r2). 则有m|(r1-r2). ∵0<=r1,r2<m,∴0<=|r1-r2|<m, 即r1-r2=0,∴r1=r2. 必要性:设a,b用m去除余数为r,即a=mq1+r,b=mq2+r, a-b=m(q1-q2) ∴m|(a-b), 故a≡b(mod m). 性质 1 反身性 a ≡ a (mod m) 2 对称性 若a ≡ b 则b ≡ a (mod m) 3 传递性 如果a ≡ b (mod m)，b ≡ c (mod m),那么a ≡ c (mod m)     【证明】上述性质很容易证明,下面仅证明(3).      ∵a≡b(mod m)∴m|(a-b)  同理m|(b-c),      ∴m|[(a-b)+(b-c)]∴m|(a-c).       故a≡c(mod m). 4 线性运算 如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那么(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)，(2)a * c ≡ b * d (mod m)      【证明】(1)∵a≡b(mod m),∴m|(a-b) 同理 m|(c-d)                      ∴m|[(a-b)±(c-d)]  ∴m|[(a±c)-(b±d)]                       ∴a ± c ≡ b ± d (mod m)                    (2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)                        又 m|(a-b)   , m|(c-d)  ∴m|(ac-bd)                      ∴a * c ≡ b * d (mod m)                                                                                 5 除法 若ac ≡ bc (mod m) c!=0 则 a≡ b (mod m/(c,m)) 其中(c,m)表示c,m的最大公约数 特殊地 (c,m)=1 则a ≡ b (mod m) 6 乘方 如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m) 7 若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n) 8 若a ≡ b (mod mi） i=1,2...n 则 a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最小公倍数 9 欧拉定理       设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(f(m))≡1(mod m)            (注:f(m)指模m的简系个数)     推论: 费马小定理 若p为质数，则a^p ≡ a (mod p) 即a^(p-1) ≡ 1 (mod p)           （但是当p|a时不等价） 另：求自然数a的个位数字，就是求a与哪一个数对于模10同余

另：共2829个字节

FZT

条件1：÷3……2
条件2 ：÷5……3
条件3：÷7……2
将条件1．3结合
得出符合１．３的最小值是２３
２３正好符合条件２
所以，最小为２３
方法２
÷3……2符合的有２.5.8.11.14.17.20.23.26.29.............
÷5……3符合的有3.8.13.18.23.28.............
÷7……2符合的有2.9.16.23.30.37.........
得出答案是23
同余
[table=98%][tr][td]数学上，两个整数除以同一个整数，若得相同余数，则二整数同余（英文：Modular arithmetic；德文：Kongruenz）。同余理论常被用于数论中。最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。
同余理论是初等数论的重要组成部分,是研究整数问题的重要工具之一,利用同余来论证某些整除性的问题是很简便的.同余是数学竞赛的重要组成部分.
两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余
记作 a ≡ b (mod m)
读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。
比如 26 ≡ 14 (mod 12)
【定义】设ｍ是大于1的正整数,a,b是整数,如果m|(a-b),则称a与b关于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a同余b模m.
   显然,有如下事实
   (1)若a≡0(mod m),则m|a;
   (2)a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除,余数相同.
【证明】 充分性:设a=mq1+r1,b=mq2+r2,0<=r1,r2<m
          ∵a≡b(mod m),∴m|(a-b),a-b=m(q1-q2)+(r1-r2).
          则有m|(r1-r2).
          ∵0<=r1,r2<m,∴0<=|r1-r2|<m,
          即r1-r2=0,∴r1=r2.
         必要性:设a,b用m去除余数为r,即a=mq1+r,b=mq2+r,
           a-b=m(q1-q2) ∴m|(a-b),
           故a≡b(mod m).
性质 [编辑本段]
1 反身性 a ≡ a (mod m)
2 对称性 若a ≡ b 则b ≡ a (mod m)
3 传递性 如果a ≡ b (mod m)，b ≡ c (mod m),那么a ≡ c (mod m)
    【证明】上述性质很容易证明,下面仅证明(3).
     ∵a≡b(mod m)∴m|(a-b)  同理m|(b-c),
     ∴m|[(a-b)+(b-c)]∴m|(a-c).
      故a≡c(mod m).
4 线性运算 如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那么(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)，(2)a * c ≡ b * d (mod m)
     【证明】(1)∵a≡b(mod m),∴m|(a-b) 同理 m|(c-d)
                     ∴m|[(a-b)±(c-d)]  ∴m|[(a±c)-(b±d)]
                      ∴a ± c ≡ b ± d (mod m)
                   (2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)
                       又 m|(a-b)   , m|(c-d)  ∴m|(ac-bd)
                     ∴a * c ≡ b * d (mod m)                                                                                
5 除法 若ac ≡ bc (mod m) c!=0 则 a≡ b (mod m/(c,m)) 其中(c,m)表示c,m的最大公约数
特殊地 (c,m)=1 则a ≡ b (mod m)
6 乘方 如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)
7 若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n)
8 若a ≡ b (mod mi） i=1,2...n 则 a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最小公倍数
9 欧拉定理
      设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(f(m))≡1(mod m)
           (注:f(m)指模m的简系个数)
    推论: 费马小定理 若p为质数，则a^p ≡ a (mod p) 即a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
我要威望！！！！！！！！！！

ARIA

答案：23

过程略，楼上的已经写得够多了！

愚翁

不用试那么多吧

相当于“除以21余2、除以5余3的最小数”

一下就可以试出答案的

23

WYSWYS

因为此数除以3、7都余2所以用3乘7+2=23，而23除以5余3。符合题意。所以此数最小为23。我要威望！

FZT

原帖由 ARIA 于 2008-8-25 09:25 发表

答案：23

过程略，楼上的已经写得够多了。

怎么能这样呢

吉人天相

除以3余2,符合的有2.5.8.11.14.17.20.23.26.29......
除以5余3,符合的有3.8.13.18.23.28......
除以7余2,符合的有2.9.16.23.30......
答案是23

proud

先看这个数除以3余2，除以7也余2，所以先找到3和7的最小公倍数为21。21加上2为23，23除以5正好余3，此数最小为23。

         除以3余2,符合的有2、5、8、11、14、17、20、23、......
                   除以5余3,符合的有3、8、13、18、23、28......
                   除以7余2,符合的有2、9、16、23、30......
                   此数最小为23。

在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”①，甚至远渡重洋，输入日本：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，除百令五便得知。”
这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。
“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》卷下“物不知数”题说：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？显然，这相当于求不定方程组
N=3x+2，N=5y+3，N=7x+2
的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价于解下列的一次同余组：
N  2(mod3)  3(mod5)  2(mod7)②
《孙子算经》所给答案是N＝23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法：三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是：
N＝70×3＋21×3＋15×2－2×105。
这里105是模数3、5、7的最小公倍数，容易看出，《孙子算经》给出的是符合条件的最小正整数。对于一般余数的情形，《孙子算经》术文指出，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以R1、R2、R3表示这些余数，那么《孙子算经》相当于给出公式
N＝70×R1＋21×R2＋15×R3－P×105（p是整数）。
孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。《孙子算经》没有说明这三个数的来历。实际上，它们具有如下特性：
也就是说，这三个数可以从最小公倍数M＝3×5×7＝105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1＝2，K2＝1，K3＝1，那么整数Ki（i＝1，2，3）的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。由此出发，立即可以推出，在余数是R1、R2、R3的情况下，
综合以上三式又可得到：
因为M＝3×5×7可被它的任一因子整除，于是又有：
这里P是整数。这就证明了《孙子算经》的公式。应用上述推理，可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形：设有一数N，分别被两两互素的几个数a1、a2、……an相除得余数R1、R2、……Rn，即
N≡Ri（modai）（i＝1、2、……n），
只需求出一组数Ki，使满足条件，
那么适合已给一次同余组的最小正数解是23
（P是整数，M＝a1×a2×……×an），这就是现代数论中著名的剩余定理。
有点......看晕了......