高中数学中的集合
集合在高中数学中很简单，基本上只停留在概念认知的阶段。不过，对概念的理解恰恰是初中学生上到高中后遇到的第一个难点，是学生要过的第一道关口。不仅集合是这样，方程、函数都是这样。集合是初中数学中数的延伸。在中学数学中，数的广义理解包含三个方面：数值、变量、集合。初中数学中主要目标是前两个，其特征我们可以理解为数轴上的一个点，或者平面上的一个点。数值代表一个固定的点，变量代表一个变化的点。集合，则是满足某种条件限制的所有点的组合。牢记这一点非常重要，集合不是“点”，而是“直线”、“平面”、“空间”。。。
这种学习的发展历程预示了日后高中数学的学习方向：1）从一维、简单二维到三维空间的拓展，这就是高中的立体几何。初中时虽说也有立体几何，但太初级了，同时很少有变量引入。2）从计算数值到研究一类数特征的拓展，函数、轨迹就是这种思路的具体表现；3）数与形的高度结合。即便如集合这样的抽象的内容，也要学会用图表示为好。
集合学习的核心是集合的图像表现。很多中考书都使用到了这种方法，它其实并不是初中生必须掌握，而高中生则必须要掌握。举例讲，3x+4y>0其实就是求一个集合{(x,y)|3x+4y>0}，-x^2+5x-1<0代表另外一个集合。如果这两个不等式联立，其实求的就是两个集合的交。再延伸一下，如果求满足上述两个不等式的y的最值时，你如果能够把示意图画出来是很有帮助的。
所以，集合学习的重点在于用。基本操作所有学生一学都会，但会使用就不一定了。
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:victory: 学生在学习集合时，概念上觉得比较别扭的是空集。既然什么都没有，怎么还要称为集合？这种认识上的困惑很容易理解，过不了几天，人们就会习惯。历史上，人们对0的认识也有这样的过程。远古时代，人们对数的识别开始时只认1、2、3，随后是更多的自然树，之后，才是负数和0。负数和0的产生是由人们不同角度产生的，我有一块钱和从别人处借一块钱是不同的，这样数字表示的方式就可能会产生差异。而集合中空集的概念其实也容易理解，举个例子，对于一个一元二次方程的解，当我们还不知道是什么时，当然是可以用集合表示的A={x|ax^2+bx+c=0}，这个集合就可能有一个元素，两个元素，或者没有元素。没有元素就意味着A是空集。
空集的引入也是运算的需要，这一点也与数的情况一致。数学成为一种科学体系后，我们常常会看到这样公理，就是如果x和y属于一个数系，则x、y的加减乘除后的结果仍然属于这个数系，这叫做某个数系运算的封闭性。整数如此，有理数如此，现在我们遇到的集合也如此，所不同的是它加减乘除概念与数不同，而成了和（并）、差、交、非的概念，它的运算也具有这种封闭性。所以，人们引入了空集的概念，A与A的差就是空集。
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请问您是数学老师吗？我把您的内容已打出来了，让孩子看，我现在是一点也不懂了，帮不上忙，:$继续关注您的内容，正好是现在学的内容。:handshake
回复 地板 春夏秋冬2008 的帖子
20多年前在大学读数学系，现在还保持一点儿兴趣。刚好儿子上高中，所以，我也整理一下。这里所说的，是数学的一种思维方法，而不是具体的高中数学。要注意这一点，因为一些表达的细节都变了，只有思路还是一样的。 抽象集合的图示法很简单，就是在平面上画一个圆表示A，另一个圆表示B，两者相重叠的部分就是A与B的交集，A、B覆盖的所有区域就是AB的并集（又称和集）。
这里面还有一个隐形的集合（全集），凡不属于A的元素组成的集合叫做A的补集（又称A的非集）。A+A的补集=全集。B+B的补集=全集。
有了上面的几个概念，就可以推导出一些东西：
1）A-B，就是A与B的补集的交集。这也是集合的差运算，意思是属于A，但不属于B的元素组成的集合。用两个有交集的圆来表示，就是一个玄月状的东西。
2）A+B=(A-B)+(AB)+(B-A)，这里等式右边的三个集合都是A+B的真子集，没有交叉元素。这是一个很重要的分解公式。
3）A+B+C=(A-B-C)+(B-C-A)+(C-A-B)+(AB-ABC)+(BC-ABC)+(CA-ABC)+ABC
应当说明的一个是，集合中是不允许有重复因素的。有时候A={1，2，3，3}的表示是不允许的，有时候题目要考验学生的是{1，2，3，3}={1，2，3}。能否如此表示集合（带重复元素），在各阶段是不一定的。我们只能说，集合的严格概念中，是没有重复元素的。
抽象的表示中，集合就这些东西。一般而言，集合不会成为学生学习的难点，关键在于掌握的速度，要同步，不要补课。
集合的使用时，画的就不一定是上面的表示了。例如，A={x | x>3}，B={x | x<10}，此时求A与B的交集，画得是数轴区域图示法，而不是上面的方法。这种抽象的方法在类似下面的题目中最为有效：
班里参加语文课外班的为21人，参加数学班的有27人，参加英语班的有22人，已知全班共40人，每个人至少参加一个课外班，参加3个班的人数为9，问参加两个班的有多少人？
对这类题，画上三个圆，然后在各个区域里把数字一标，答案就出来了。所以，要掌握得很熟练才对。
对于高中集合，就说到这里。希望对大家有益！
回复 6楼 南郭先生 的帖子
真好！！您的儿子在13中读高一吗？盼着您有时间来讲讲学习数学的思维方法，我女儿在数学方面差些，希望能得到您的指点，谢谢！
回复 7楼 春夏秋冬2008 的帖子
对！小孩刚上13中，7班的。如果数学方面有什么问题，我们可以讨论，希望对孩子有帮助。发个短信好了，我基本上周一到周五都会上来看看 [quote]原帖由 [i]南郭先生[/i] 于 2008-9-8 15:08 发表 [url=http://bbs.eduu.com/redirect.php?goto=findpost&pid=1076813&ptid=104798][img]http://bbs.eduu.com/images/common/back.gif[/img][/url]
对！小孩刚上13中，7班的。
如果数学方面有什么问题，我们可以讨论，希望对孩子有帮助。发个短信好了，我基本上周一到周五都会上来看看 [/quote]
太好了，我们是校友，有问题还真要向您请教了，谢谢您！
我也是周一至周五上班时间都在这里， 真好，我们家长中有科班数学出生的，以后有问题请多多帮忙！请问你们孩子有在外面报课外班吗？如果有是报哪里的，谢谢！ [quote]原帖由 [i]闺女她妈[/i] 于 2008-9-9 09:28 发表 [url=http://www.eduu.com/redirect.php?goto=findpost&pid=1079513&ptid=104798][img]http://www.eduu.com/images/common/back.gif[/img][/url]
真好，我们家长中有科班数学出生的，以后有问题请多多帮忙！请问你们孩子有在外面报课外班吗？如果有是报哪里的，谢谢！ [/quote]
以前报过，现在不报了！儿子不太喜欢数学，他喜欢历史地理。以前是报光华鼎力，在公主坟。
回复 10楼 闺女她妈 的帖子
我们也没在外面报班，本校不知有没有？ 来两道题，加深一下集合的印象：已知M={y | y=x+1}, N={(x,y) | x^2+y^2=1}，则M与N的交集中含有元素的个数为：
A. 0， B. 1，C. 2，D. 多个
若A={1,3,x}, B={x^2,1}，且A与B的并集为{1,3,x}，则这样的x取值有多少个？
A. 2， B. 3，C. 4，D. 5
回复 13楼 南郭先生 的帖子
有答案吗？回家给孩子做一下。听说本校没有阶段测验，直接就是期中考试了，怎么检测章节学过的内容啊。 南郭先生好！我家孩子也是七班的，有您的指导我放心了，我会把您的思维方法整理一下，告诉我家儿子。谢谢您。 听孩子说下周考试，不知如何
回复 16楼 楚天北京 的帖子
考哪门呀？知道吗？回复 14楼 春夏秋冬2008 的帖子
这个测试的是概念。对孩子来说，做对做错并不重要，重要的是让他们知道问题在哪儿！答案是A和B
回复 15楼 楚天北京 的帖子
可以把网址告诉他，让他自己上来看一看，有问题也可以交流。家长直接与孩子沟通有时挺难的。回复 19楼 南郭先生 的帖子
昨天我把您的两道题让孩子看了一下，第二题对了，第一题在A和D中选择，最后还是选错了，认为是D对了，您认为我女儿的错误出在哪了？第一题为什么是A呢？
谢谢您 [quote]原帖由 [i]春夏秋冬2008[/i] 于 2008-9-12 09:06 发表 [url=http://www.eduu.com/redirect.php?goto=findpost&pid=1096897&ptid=104798][img]http://www.eduu.com/images/common/back.gif[/img][/url]
昨天我把您的两道题让孩子看了一下，第二题对了，
第一题在A和D中选择，最后还是选错了，认为是D对了，您认为我女儿的错误出在哪了？第一题为什么是A呢？
谢谢您 [/quote]
已知M={y | y=x+1}, N={(x,y) | x^2+y^2=1}，则M与N的交集中含有元素的个数为：
A. 0， B. 1，C. 2，D. 多个
M是一个数值x组成的集合，N是（x，y）组成的集合，交集为空。这检验的是概念，什么是交集元素？即一个元素即属于M也属于N，而现在如果该元素属于M，它就是一个数值；而当该元素属于N，则它就是一个有序数对。所以，交集只能为空。
回复 21楼 南郭先生 的帖子
谢谢南郭先生！您知道学校周末准备办班吗？ 女儿两道都做对了，正在得意呢，谢谢南郭先生，有空经常给我们出两道题。下周考试？单元考吗？没听孩子说。
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